Maturità 2019, la soluzione del compito di matematica

Gli studenti dei licei scientifici di tutta Italia alle prese oggi con la seconda prova di maturità, quella di matematica. Ecco tracce e soluzioni

Maturità 2019, si entra nel vivo. Dopo aver affrontato – e si spera superato brillantemente – la prima prova, quella di italiano, gli studenti si sono cimentati oggi con la seconda prova, quella specifica per ogni indirizzo. I maturandi dei licei scientifici, in particolare, hanno affrontato il test di matematica, articolato quest’anno in due problemi e otto quesiti (qui la nostra simulazione e la relativa soluzione): agli studenti è stato richiesto di risolvere un problema e quattro quesiti a scelta.

Ecco la soluzione completa del compito di quest’anno, alla cui stesura ha collaborato Sarah Dolcimascolo, ingegnere elettronico e insegnante alla Kcb Academy di Palermo. Al solito, se notate errori o imprecisioni siate clementi e segnalatecelo nei commenti: nessuno è perfetto.

Problema 1

Traccia
Si considerino le seguenti funzioni:

( f(x)=ax^2 – x + b )
( g(x)=(ax+b)e^{2x-x^2} )

Provare che, comunque siano scelti i valori di a e b in ( mathbb{R} ) con ( aneq 0 ), la funzione g ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f e g si intersecano nel punto A(2, 1).

Soluzione
Calcoliamo la derivata prima di g e studiamone il segno:

( g’(x) = acdot e^{2x-x^2} + (ax+b)cdot(2-2x)cdot e^{2x-x^2}=)

( = e^{2x-x^2}cdot(a+2ax-2ax^2+2b-2bx)geq 0)

Il segno del primo fattore del prodotto è:

( e^{2x-x^2} > 0 forall x in mathbb{R})

e

( e^{2x-x^2} = 0 ) per nessuna ( x in mathbb{R} ).

Per quanto riguarda il secondo fattore, invece, si ha:

( -2ax^2 – 2xcdot(b-a)^2+2°(a+2b) geq 0)

( frac{Delta}{4} = (b-a)^2 + 2a(a+2b) = b^2+a^2-2ab+2a^2+4ab = )

( = 3a^2+2ab+b^2=2a^2+ (a+b)^2 > 0 forall a,b in mathbb{R})

in quanto somma di quadrati. E allora:

( x = frac{b-apmsqrtDelta}{-2a})

quindi ci sono due zeri distinti per g’(x), ovvero un punto di massimo e uno di minimo. Studiamo i limiti:

( lim_{xtoinfty} g(x) = lim_{xtoinfty}frac{(ax+b)e^{2x}}{e^{x^2}} = frac{infty}{infty})

ma siccome il denominatore è un infinito di ordine superiore rispetto al numeratore, il limite va a zero. Per lo stesso motivo, il limite di g(x) per x che tende a meno infinito vale anch’esso zero. Dunque la funzione è limitata, non ci sono asintoti verticali (il campo di esistenza è ogni x appartenente ai reali) e massimo e minimo sono assoluti.

Si assuma, d’ora in avanti, di avere ( a = 1 ) e ( b = -1). Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di g ammette un centro di simmetria e che i grafici di f e g sono tangenti nel punto B(0, 1). Determinare inoltre l’area della regione piana S delimitata dai grafici delle funzioni f e g.

Soluzione
Abbiamo

( f(x) = x^2-x-1 ) e (g(x) = (x-1)cdot e^{2x-x^2})

e quindi f(x) è una parabola con concavità verso l’alto. Il campo di esistenza di entrambe le funzioni è l’intero insieme dei numeri naturali; studiamo il segno di g(x):

( (x-1)cdot e^{2x-x^2} > 0 rightarrow x > 1)

E della sua derivata prima:

( g’(x) = e^{2x-x^2}cdot(-2x^2+4x-1)geq 0 rightarrow)

( rightarrow frac{Delta}{4} = 2 rightarrow x = frac{-2pmsqrt{2}}{-2}rightarrow)

( rightarrow frac{2-sqrt{2}}{2}leq x leq frac{2+sqrt{2}}{2})

E quindi la funzione è crescente tra ( frac{2-sqrt{2}}{2} ) e ( frac{2+sqrt{2}}{2} ) e decrescente altrove. I punti di massimo e minimo valgono quindi rispettivamente:

( x = frac{2-sqrt{2}}{2}, y approx -1,17  ) [MINIMO]

( x = frac{2+sqrt{2}}{2}, y approx 1,17 ) [MASSIMO]

Nel punto B si ha che:

( f’(B) = 2x-1|_{x = 0} = 1)

( g’(B) = e^{2x-x^2}(-2x^2+4x-1)|_{x=0}=e^0cdot(-1) = -1)

quindi f e g sono tangenti in B. Graficamente si evince che il centro di simmetria per g(x)è il punto P(1, 0).

Per quanto riguarda l’area di S si ha:

( A = int_{0}^{2} (g(x)-f(x)) mathrm{d}x = int_{0}^{2} ((x-1)cdot e^{2x-x^2} – x^2+x+1)mathrm{d}x=)

( =-frac{1}{2}int_{0}^{2} (-2x+2)e^{2x-x^2}mathrm{d}x + (-frac{x^3}{3} + frac{x^2}{2}+x)_{0}^{2}=)

(=-frac{1}{2}cdot(e^{2x-x^2})_{0}^{2} + (-frac{8}{3} + frac{4}{2} + 2) = frac{4}{3})

Si supponga che nel riferimento 0xy le lunghezze siano espresse in metri (m). Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano 0xy e passanti rispettivamente per i punti:

( P_1(frac{3}{2}, 0), P_2(frac{3}{2}, 1), P_3(frac{3}{2}, -frac{1}{2}).)

I tre fili sono percorsi da correnti continue di intensità ( i_1 = 2,0 A), ( i_2) e ( i_3). Il verso di ( i_2) è indicato in figura mentre gli altri due versi non sono indicati. Stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico generato dalle correnti ( i_1 ), ( i_2 ) e ( i_3 ) lungo il contorno di S a seconda dell’intensità e del verso di ( i_2 ) e ( i_3 ).

Soluzione
Detto ( mathcal{L}) il contorno di S, per la legge di Ampere si ha che

( Gamma_{mathcal{L}}(B) = sum_{k=1}^{3}mu_0 i_k )

Dal momento che l’intersezione positiva con l’asse x di f(x) vale ( x_1 = frac{1+sqrt{5}}{2}approx 1,62) e lo zero di g(x) è ( x_2=1), allora ( P_1 in S). Poiché ( f(frac{3}{2}approx -frac{1}{4}) e ( g(frac{3}{2}) approx 1,06), allora anche ( P_2 in S). Invece poiché ( P_3(frac{3}{2}, -frac{1}{2}) e ( y_{P_3} = -frac{1}{2}

( Gamma_{mathcal{L}}(B) = mu_0 I_1 + mu_0 I_2 )

( Iotimes rightarrow I <0; Iodot rightarrow I >0 )

Allora

( Gamma_{mathcal{L}}(B) = mu_0 (-2+I_2) )

e quindi

( I_2 > 2 Rightarrow Gamma_{mathcal{L}}(B) > 0 )

( 0< I_2 < 2 Rightarrow Gamma_{mathcal{L}}(B) < 0 )

Si supponga, in assenza dei tre fili, che il contorno della regione S rappresenti il profilo di una spira conduttrice di resistenza ( R = 0,20 Omega). La spira è posta all’interno di un campo magnetico uniforme di intensità ( B = 1,5 cdot 10^{-2} T) perpendicolare alla regione S. Facendo ruotare la spira intorno all’asse x con velocità angolare ( omega ) costante, in essa si genera una corrente indotta la cui intensità massima è pari a ( 5,0 mA). Determinare il valore di ( omega ).

Soluzione
Abbiamo che

( Phi_S(B) = S cdot Bcdot cos(alpha) )

dove ( alpha = omega t). E quindi:

( mathrm{fem}_i = -frac{mathrm{d}Phi(B)}{mathrm{d}t} ).

(Phi(B)=frac{4}{3}cdot 1,5 cdot 10^{-2} cdot cos(omega t))

(Phi’(B)=frac{4}{3}cdot 1,5 cdot 10^{-2} cdotomegasin(omega t))

E quindi:

( I_{i, MAX} = 5cdot 10^{-3}A; I_i = frac{1}{0,2}cdotfrac{4}{3}cdot 1,5cdot 10^{-2} omega sin(omega t))

( I_i = 0,1 cdot omega sin(omega t); )

e ( I_i ) è massimo se ( sin(omega t) = 1); allora

( 0,1 cdot omega = 5cdot 10^{-3} rightarrow omega 0,05 frac{textrm{rad}}{textrm{s}}).

Problema 2

Traccia
Un condensatore piano è formato da due armature circolari di raggio R, poste a distanza d, dove R e d sono espresse in metri (m). Viene applicata alle armature una differenza di potenziale variabile nel tempo e inizialmente nulla. All’interno del condensatore si rileva la presenza di un campo magnetico ( vec{B}). Trascurando gli effetti di bordo, a distanza r dall’asse di simmetria del condensatore, l’intensità di ( vec{B} ), espressa in tesla (T), varia secondo la legge:

( |vec{B}|=frac{kt}{sqrt(t^2 + a^2)^3}r)

con ( r leq R), dove a e k sono costanti positive e t è il tempo trascorso dall’istante iniziale, espresso in secondi (s).

Dopo aver determinato le unità di misura di a e k, spiegare perché nel condensatore è presente un campo magnetico anche in assenza di magneti e correnti di conduzione. Qual è la relazione tra le direzioni di ( vec{B} ) e del campo elettrico ( vec {E} ) nei punti interni al condensatore?

Soluzione

Abbiamo che

( B = frac{kt}{sqrt({t^2+a^2})^3}cdot r )

Con ( r leq R). a è in secondi perché sommato a un tempo t, anch’esso in secondi. B è un campo magnetico, espresso in tesla ( T = frac{N}{Acdot m}). Si ha quindi:

( T = frac{Kcdot s cdot m}{s^3} Rightarrow T = frac{Kcdot m}{s^2} )

da cui ( k = frac{Tcdot s^2}{m}) (o, equivalentemente, ( frac{kg}{Acdot m}).

Dal momento che al condensatore è applicata una differenza di potenziale variabile nel tempo, tale differenza di potenziale genera un campo elettrico all’interno del condensatore anch’esso variabile nel tempo. In particolare, il campo elettrico all’interno del condensatore è

( E = frac{sigma}{epsilon_0})

dove ( sigma) è la densità superficiale di carica presente sulle armature del condensatore. Dal momento che la carica è legata alla differenza di potenziale e alla capacità del condensatore dalla relazione ( c = frac{q}{Delta V}), e dal momento che ( Delta V) è variabile nel tempo, anche la carica è variabile nel tempo. Di conseguenza anche ( sigma) è variabile nel tempo e quindi il campo elettrico è variabile nel tempo: per la quarta legge di Maxwell, un campo elettrico il cui flusso attraverso una superficie varia nel tempo (in questo caso la superficie è l’armatura dei condensatori) genera un campo magnetico.

Il campo elettrico è diretto perpendicolarmente alle armature del condensatore, dalla lastra positiva a quella negativa; il campo magnetico è ortogonale al campo elettrico.

Si consideri, tra le armature, un piano perpendicolare all’asse di simmetria. Su tale piano, sia C la circonferenza avente centro sull’asse e raggio r. Determinare la circuitazione di ( vec{B}) lungo C e da essa ricavare che il flusso di ( vec{E}), attraverso la superficie circolare delimitata da C, è dato da

( Phi(vec{E}) = frac {2kpi r^2}{mu_0 epsilon_0}(frac{-1}{sqrt{t^2 + a^2}} + frac{1}{a}) )

Calcolare la d.d.p. tra le armature del condensatore. A quale valore tende ( |vec{B}|) al trascorrere del tempo? Giustificare la risposta dal punto di vista fisico.

Soluzione
In aggiornamento

Per a > 0, si consideri la funzione

( f(t) = frac{t}{sqrt{(t^2+a^2)^3}} )

Verificare che la funzione

( F(t) = frac{1}{sqrt{t^2+a^2}}- frac{1}{a})

è la primitiva di f il cui grafico passa per l’origine. Studiare la funzione F, individuandone eventuali simmetrie, asintoti, estremi. Provare che F presenta due flessi nei punti di ascisse (t = pmfrac{sqrt 2}{2}a ) e determinare le pendenze delle rette tangenti al grafico di F in tali punti.

Soluzione

In aggiornamento

Con le opportune motivazioni, dedurre il grafico di f da quello di F, specificando cosa rappresentano le ascisse dei punti di flesso di F per la funzione f. Calcolare l’area della regione compresa tra il grafico di f, l’asse delle ascisse e le rette parallele all’asse delle ordinate passanti per gli estremi della funzione. Fissato ( b > 0), calcolare il valore di

( int_{-b}^{b}f(t)textrm{d}t)

Soluzione

In aggiornamento

Quesito 1

Traccia
Una data funzione è esprimibile nella forma

( f(x) = frac {p(x)}{x^2+d})

dove ( d in mathbb{R} ) e ( p(x) ) è un polinomio. Il grafico di f interseca l’asse x nei punti di ascisse 0 e 12/5 e ha come asintoti le rette di equazione ( x = 3), ( x = -3 ) e ( y = 5).

Determinare i punti di massimo e minimo relativi della funzione f.

Soluzione
Le condizioni sono:

( f(0) = 0; f(frac{12}{5})=0; lim_{xtoinfty} f(x) = 5; lim_{xtopm 3}f(x)=infty).

Affinché ( y = 5 ) sia asintoto orizzontale, ( p(x) ) e ( q(x) = x^2 + d ) devono avere lo stesso grado, quindi cerchiamo ( p(x) ) come ( ax^2+bx+c ), ossia:

( f(x) = frac { ax^2+bx+c }{x^2+d} )

Affinché ( x= pm 3) siano asintoti verticali, devono essere zeri per il numeratore, dunque:

( x^2 + d = 0)

per ( x = 3 ) e ( x = -3 ) da cui ( d = -9), e allora:

( f(x) = frac { ax^2+bx+c }{x^2-9} )

Imponendo le altre condizioni abbiamo:

( f(0) = 0 rightarrow frac{c}{-9} = 0 rightarrow c = 0)

( f(frac{12}{5}) = 0 rightarrow frac{frac{144}{25}a + frac{12}{5}b}{-9} = 0 rightarrow frac{12}{5}a + b = 0 rightarrow b = -frac{12}{5}a )

( lim_{xtoinfty} frac{ax^2 – frac{12}{5}ax}{x^2 – 9} = 5 rightarrow lim_{xtoinfty} frac{ax^2cdot(1-frac{12}{5x})}{x^2cdot(1-frac{9}{x^2})} = 5 )

( lim_{xtoinfty} frac{12}{5x} = lim_{xtoinfty} frac{9}{x^2} = 0 rightarrow a=5 rightarrow b=-12)

E allora

( f(x) = frac{5x^2-12x}{x^2-9}).

Per quanto riguarda massimi e minimi si ha:

( f’(x) = frac{10x^3 – 90x – 12x^2 + 108 – 10x^3 + 24x}{(x^2-9)^2}geq 0)

( f’(x) = frac{12x^2-90x+108}{(x^2-9)^2}geq 0)

( f’(x) = frac{6(2x^2 – 15x+18)}{(x^2-9)^2}geq 0 )

( 2x^2-15x+18geq 0 rightarrow Delta = 80, x = frac{15pm 9}{4}= frac{3}{2}, 6 rightarrow x leq frac{3}{2}, xgeq 6)

mentre ( (x^2-9) ) è sempre positivo. Bisogna solo escludere i punti ( x = pm 3 ) perché annullano il denominatore. Mettendo insieme i segni di numeratore e denominatore si trova che la funzione cresce per ( x 6). Il massimo è quindi in ( x=frac{3}{2}, y = 1) e il minimo in ( x = 6, y = 4).

Quesito 2

Traccia
È assegnata la funzione

( g(x) = sum_{n=1}^{1010} x^{2n-1} = x + x^3 + x^5 + x^7 + dots + x^{2017} + x^{2019} )

Provare che esiste un solo ( x_0 in mathbb{R} ) tale che( g(x_0) = 0 ). Determinare inoltre il valore di

( lim_{xrightarrow +inf}frac{g(x)}{1,1^x})

Soluzione
La serie può essere riscritta come

( g(x) = xcdot (1 + x^2 + x^4 + dots + x^{2016} + x^{2018}) )

ovvero

( g(x) = sum_{n=0}^{1009} x cdot x^{2n} )

Per la legge di annullamento del prodotto, si ha che ( g(x) = 0 ) se ( x = 0 ) oppure se ( p(x) = 1 + x^2 + x^4 + dots + x^{2016} + x^{2018}), ma tale polinomio è una somma di potenze pari quindi è sempre positivo e non si annulla mai. Allora ( x = 0 ) è l’unico zero di ( g(x)).
Per risolvere il limite bisogna ricordare il limite notevole

( lim_{xrightarrow +inf}frac{x^n}{a^x} )

con ( ngeq 0 ) e ( a > 1), allora:

( lim_{xrightarrow +inf}frac{g(x)}{1,1^x} =0)

Quesito 3

Traccia

Tra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area S, determinare quello per cui la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.

Soluzione

Siano ( S_T), ( S_L) e ( S_B) rispettivamente la superficie totale, la superficie laterale e la superficie di base del parallelepipedo, con ( S_T = S_L + 2S_B = S). Chiamiamo a il lato del quadrato di base e h l’altezza del parallelepipedo. Si ha allora che:

( S_L = 4cdot a cdot h; S_B = a^2 rightarrow S_T = 4ah + 2a^2 = S)

Da cui

( h=frac{S-2a^2}{4a} )

Chiamiamo f(a) la somma della lunghezza degli spigoli da minimizzare. Si ha:

( f(a,h) = 4a + 4a + 4h = 8a + 4h)

Da cui, sostituendo h e svolgendo i passaggi, si ha:

( f(a) = 6a + frac{S}{a})

Sicuramente a è positivo in quanto spigolo di base, e S è positiva in quanto superficie, dunque il campo di esistenza di f(a) è l’insieme dei reali. Studiamone il segno della derivata prima:

( f’(a) = 6 – frac{S}{a^2}geq 0 Rightarrow frac{6a^2-S}{a^2}geq 0)

E quindi, risolvendo la disuguaglianza, si ottiene che

( a leq -sqrt{frac{5}{6}}) V ( a geq sqrt{frac{5}{6}})

Il punto di minimo, dunque, si ha per ( a = sqrtfrac{5}{6}); sostituendo tale valore nell’espressione di h si ottiene

( h = frac{sqrt{6s}}{6}, a = frac{sqrt{6s}}{6} )

ossia un cubo di spigolo (a = frac{sqrt{6s}}{6})

Quesito 4

Traccia

Dati i punti A(2, 0, -1) e B (-2, 2, 1), provare che il luogo geometrico dei punti P dello spazio, tali che ( bar{PA} = sqrt 2 bar{PB}), è costituito da una superficie sferica S e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto T(-10, 8, 7) appartiene a S e determinare l’equazione del piano tangente in T a S.

Soluzione

Dobbiamo imporre che

( sqrt{(x-2)^2 + y^2 + (z+1)^2} = sqrt 2 cdot sqrt{(x+2)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2})

Elevando tutto al quadrato si ha:

( x^2-4x+4+y?2+z^2+1+2z=2x^2+8+8x+2y^2+8-8y+2z^2+2-4z)

( x^2+y^2+z^2+12x-8y-6z+13 = 0)

Ossia una sfera di centro C(-6, 4, 3) e raggio 3. Il punto T(-10, 8, 7) appartiene alla sfera S in quanto è verificata l’identità 100+64+29-12’-64-42+13 = 0. Il piano tangente in T a S è normale al raggio ( bar{TC}). Inoltre ( bar{TC}(4, -4, -4)), quindi tale vettore è anche il vettore dei parametri di giacitura (a, b, c) del piano ( pi ) cercato:

( pi: 4x – 4y – 4z + d = 0)

e imponendo che ( T in pi) si ottiene:

( -40 -32 – 28 + d = 0 rightarrow d = 100)

e quindi

( pi: 4x-4y-4z+100 = 0 rightarrow pi: x-y-z+25 = 0)

Quesito 5

Traccia
Si lanciano 4 dadi con facce numerate da 1 a 6.

Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi 5?

Soluzione
Ipotizziamo che il dado sia equo e dunque

( P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = frac{1}{6})

Cerchiamo i casi favorevoli:
– 1, 1, 1, 1
– 2, 1, 1, 1
– 1, 2, 1, 1
– 1, 1, 2, 1
– 1, 1 , 1, 2
I casi favorevoli sono 5, su un totale di ( 6^4 ) casi possibili: applicando la definizione di probabilità classica (ovvero la probabilità è data dal rapporto tra casi favorevoli e casi possibili), si ha che

( P(E_1) = frac{5}{6^4} = 0,00386 rightarrow 0,386%)

dove (E_1 = )  {la somma dei punti è ( leq 5)}.

Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?

Soluzione
Definiamo ( E_2 ) l’evento in cui il prodotto dei numeri usciti sia multiplo di 3. Affinché il prodotto sia multiplo di 3, almeno su una delle facce vi deve essere 3 oppure 6. Si ha che

( P(3mathrm{V}6) = frac{1}{6} + frac{1}{6} = frac{1}{3} )

per ogni singolo dado. Detto ( bar{E_2} ) l’evento complementare (ovvero quello in cui 3 o 6 non compare su nessuna faccia), cerchiamo ( P(E_2) ) come (1 – P(bar{E_2})). Quindi:

(P(bar{E_2}) = frac{4}{6} )

dove

( frac{4}{6} = P(1mathrm{V}2mathrm{V}4mathrm{V}5))

e quindi

( P(E_2) = 1 – (frac{4}{6})^4 = 1 – (frac{2}{3})^4 = 0,802 rightarrow 80,2%).

Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

Soluzione
Definiamo ( E_3 ) l’evento in cui il massimo numero uscito sia 4: determinare la probabilità di ( E_3 ) equivale a cercare la probabilità che su almeno una delle facce vi sia 4 e sulle altre un numero minore o uguale di 4. I casi possibili sono quindi:
– 4, ( leq )4, ( leq )4, ( leq )4
– ( leq )4, 4, ( leq )4, ( leq )4
– ( leq )4, ( leq )4, 4, ( leq )4
– ( leq )4, ( leq )4, ( leq )4, 4
e dunque la probabilità corrispondente, tenendo conto del fatto che la probabilità che esca 4 è (frac{1}{6} ) e la probabilità che esca un numero minore o uguale a 4 è (frac{4}{6} ), equivale a:

(P(E_3)=frac{1}{6} cdot (frac{4}{6})^2 cdot 4 = 0,198 rightarrow 19,8% ).

Quesito 6

Traccia
Una spira di rame, di resistenza ( R=4,0 mOmega), racchiude un’area di ( 30 mathrm{cm}^3) ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La componente del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura.

Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:
1) da 0,0 ms a 3,0 ms
2) da 3,0 ms a 5,0 ms
3) da 5,0 ms a 10 ms

Soluzione
Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, un campo magnetico variabile nel tempo genera una forza elettromotrice indotta e di conseguenza una corrente indotta nel circuito concatenato con il campo magnetico variabile nel tempo. Tale corrente indotta a sua volta genera un campo magnetico magnetico indotto il cui verso è tale da opporsi a quello del campo magnetico la cui variazione ha generato la forza elettromotrice indotta. Nel quesito in esame sappiamo che:

( R = 4 mOmega = 4cdot 10^{-3}Omega)

( A = 30 mathrm{cm}^2 = 3cdot 10^{-3} m^2)

e quindi:

( i_1 = frac{mathrm{fem}_1}{R}), dove ( mathrm{fem}_1 = frac{-DeltaPhi(B)}{Delta t})

da cui:

( i_1 = -frac{DeltaPhi(B)}{R cdot Delta t} );

( Phi(B) = A cdot B cdot cos(alpha) ),

e dato che ( alpha = 0 ), dal momento che la spira è perpendicolare a ( vec{B} ), si ha che ( cos(alpha) = 1 ) e dunque:

( i_1 = -frac{(Phi_F(B) – Phi_0(B))}{Rcdot Delta t} = frac{Acdot (B_F – B_0)}{ Rcdot Delta t})

Nei tre intervalli di tempo si ha allora che:

– primo intervallo, ( Delta t = 3cdot 10^{-3} s)

( i_{i1} = – frac {3 cdot 10^{-3} cdot (-0,2 cdot 10^{-3}-0}{3 cdot 10^{-3} cdot 4 cdot 10^{-3}}= 0,05 A)

– secondo intervallo, ( Delta t = 2cdot 10^{-3} s)

( i_{(i2)} = – frac {3 cdot 10^{-3} cdot (0,2+0,2) cdot 10^{-3}}{2 cdot 10^{-3} cdot 4 cdot 10^{-3}} = -0,15 A)

– terzo intervallo, ( Delta t = 5cdot 10^{-3} s)

( i_{(i3)} = – frac {3 cdot 10^{-3} cdot (0-0,2 cdot 10^{-3})}{5 cdot 10^{-3} cdot 4 cdot 10^{-3}} = 0,03 A)

Quesito 7

Traccia

In laboratorio si sta osservando il moto di una particella che si muove nel verso positivo dell’asse x di un sistema di riferimento a essa solidale. All’istante iniziale, la particella si trova nell’origine e in un intervallo di tempo di 0,2 ns percorre una distanza di 25 cm. Una navicella passa con velocità v = 0,80 c lungo la direzione x del laboratorio, nel verso positivo, e da essa si osserva il moto della stessa particella. Determinare le velocità medie della particella nei due sistemi di riferimento. Quale intervallo di tempo e quale distanza misurerebbe un osservatore posto sulla navicella?

Soluzione

Abbiamo che ( Delta t = 2cdot 10^{-9} s), ( Delta s = 0,25 m), ( v_{nav} = 0,8 c = 2,4 cdot 10^8 m/s) e ( c = 3cdot 10^8 m/s). La velocità in laboratorio è

(v_m = frac{Delta s}{Delta t} = 1,25 cdot 10^8 m/s)

E applicando le trasformazioni di Lorentz (dal momento che (v_{nav}approx c )), usiamo la formula relativistica per la velocità:

( v_m = frac{v_{part} – v_{nav}}{1-frac{v_{nav}cdot v_{part}}{c^2}})

Ossia, lungo x, ( v_m = -1,73cdot 10^8 m/s).

Per le trasformazioni di Lorentz si ha:

( gamma=frac{1}{sqrt{1-(frac{v}{c})^2}}approx 1,67 rightarrow )

( rightarrow t’ = gamma t rightarrow t’ = 3,34cdot 10^{-9} s = 3,34 ns)

e

( Delta x’ = frac{Delta x}{gamma} rightarrow Delta x’ = 0,15 m = 15 cm)

Quesito 8

Traccia

Un protone penetra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo ( |vec{B}| = 1,00 mT). Esso inizia a muoversi descrivendo una traiettoria ad elica cilindrica, con passo costante ( Delta x = 38,1 cm ), ottenuta dalla composizione di un moto circolare uniforme di raggio r = 10,5 cm e di un moto rettilineo uniforme. Determinare il modulo del vettore velocità e l’angolo che esso forma con ( vec{B} ).

Soluzione

Abbiamo:

( |bar{B}| = 10^{-3} T, Delta x = 0,381 m = rho, r = 0,105 m).

Sia ( alpha) l’angolo compreso tra il vettore velocità (bar{v}) e B e ( v_1) e ( v_2) le componenti perpendicolare e parallela della velocità. Abbiamo allora che ( v_1 = vsinalpha ), ( v_2 = v cosalpha) e ( r = frac{mv_1}{qB}). Il passo dell’elica è invece (rho =frac{v_2cdotpi m}{qB}), e allora si ha il seguente sistema:

( r = frac{mvsinalpha}{qB})

( p = frac{2pi m}{qB}vcosalpha)

Facendo il rapporto membro a membro si ottiene:

( frac{r}{p}=frac{tanalpha}{2pi} rightarrow tanalpha = frac{2pi r}{p} = 1,73 rightarrow alpha approx 60°)

E dunque:

( v = frac{RqB}{msinalpha} = frac{0,105 cdot 1,6 cdot 10^{-19} cdot 10^{-3}}{1,673cdot 10^{-27}cdot sin(60°)} = 10^{5}cdot 0,016 m/s)

Ovvero ( v = 1,16cdot 10^4 m/s)