Norman Wildberger, matematico e professore onorario presso la University of New South Wales di Sydney (Australia), ha scovato un metodo per risolvere uno dei problemi più antichi dell’algebra: trovare una soluzione alle equazioni polinomiali superiori. Il metodo è stato descritto in uno studio pubblicato su The American Mathematical Monthly, firmato da Wildberger e da Dean Rubine, esperto di informatica. Vediamo in cosa consiste e quali applicazioni potrebbe avere questa scoperta.
Cosa sono le equazioni polinomiali di grado superiore
1 + 4x – 3x2 = 0 è un esempio di equazione polinomiale di secondo grado, perché la variabile x è elevata alla seconda potenza (e, se compaiono più variabili o se la stessa variabile compare più volte, per determinare il grado si considera la potenza più elevata).
Le equazioni polinomiali di grado superiore, invece, sono quelle che includono variabili elevate a potenze uguali o superiori alla quinta. Per esempio: 1 + 4x2 – 3x5 = 0.
Ora, le equazioni polinomiali di secondo grado le sappiamo risolvere da secoli, grazie a un metodo sviluppato dai Babilonesi attorno al 1800 a.C. Molto più tardi, nel sedicesimo secolo, lo stesso metodo è stato poi ampliato per poter essere utilizzato anche per risolvere le equazioni polinomiali di terzo e quarto grado.
Nel 1832, però, il matematico francese Évariste Galois dimostrò che questo metodo non può essere applicato per risolvere le equazioni polinomiali di grado superiore al quarto. Ecco perché fino ad oggi ci siamo “accontentati” di ottenere soluzioni approssimate per questo tipo di equazioni.
Com’è stato risolto uno dei problemi più antichi dell’algebra
Wildberger e Rubine hanno sviluppato un approccio completamente diverso, basato su una sequenza di numeri naturali nota come sequenza di Catalan. I numeri di Catalan vengono utilizzati per diverse applicazioni matematiche, fra cui calcolare il numero di modi in cui un poligono può essere suddiviso in triangoli.
“Si ritiene che i numeri di Catalan siano intimamente legati all’equazione quadratica [ossia, di secondo grado, nda]. La nostra innovazione consiste nell’idea che se vogliamo risolvere equazioni di grado più elevato, dobbiamo cercare analoghi più elevati dei numeri di Catalan”, spiega Wildberger. Il suo lavoro, infatti, estende questi numeri da una matrice monodimensionale a una multidimensionale, basata sul numero di modi in cui un poligono può essere diviso utilizzando non solo triangoli ma anche quadrati, pentagoni e così via.
“Abbiamo trovato queste estensioni e dimostrato come, logicamente, portino a una soluzione generale delle equazioni polinomiali – aggiunge – Si tratta di una drammatica revisione di un capitolo fondamentale dell’algebra”.
Le possibili applicazioni
Per testare il nuovo metodo, gli autori dello studio hanno provato ad utilizzarlo per risolvere alcune equazioni note: “Una delle equazioni che abbiamo testato era una famosa equazione cubica utilizzata da Wallis nel diciassettesimo secolo per dimostrare il metodo di Newton. La nostra soluzione ha funzionato a meraviglia”, enfatizza Wildberger.
Al di là poi dell’aspetto puramente teorico, secondo il matematico questo nuovo approccio potrebbe avere delle applicazioni in ambito computazionale, per esempio per la creazione di software che che lo utilizzino al posto dei metodi “classici” per risolvere le equazioni polinomiali: “Si tratta di un calcolo fondamentale per gran parte della matematica applicata – conclude –, quindi è un’opportunità per migliorare gli algoritmi in un’ampia gamma di settori”.
